例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x,y∈R),当x0,则函数f (x)在[a,b]上 ( )
A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )
分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的,如正比例函数f (x)= kx(k≠0),,,,可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y),与此类似的还有
特殊函数 抽象函数
f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)
f (x)=
f (x+y)= f (x) f (y)
f (x)=
f (xy) = f (x)+f (y)
f (x)= tanx f(x+y)=
此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)
∵当x 0即kx > 0..∴k < 0,可得f (x)在[a,b]上单调递减,从而在[a,b]上有最小值f(b).
二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值,从而来解决问题.
例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法
令y = -x,则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x,y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0,代入①式得f (-x)= -f(x).
得 f (x)是一个奇函数,再令 ,且 .
∵x 0,而 ∴ ,则得 ,
即f (x)在R上是一个减函数,可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b).
例3 已知函数y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数 ,,恒有f( )=f( )+f( ),
试判断f(x)的奇偶性.
令 = -1,=x,得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值,令 =1,=-1,则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得
f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数.
三．利用函数的图象性质来解题：
抽象函数虽然没有给出具体的解析式,但可利用它的性质图象直接来解题.
抽象函数解题时常要用到以下结论：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于x= 对称.
定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x),则函数y=f(x)是一个周期函数,周期为a-b.
例4 f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(2-x),证明f(x)是周期函数.
分析：由 f(x)=f(2-x),得 f(x)的图象关于x=1对称,又f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于y轴对称,根据上述条件,可先画出符合条件的一个图,那么就可以化无形为有形,化抽象为具体.从图上直观地判断,然后再作证明.
由图可直观得T=2,要证其为周期函数,只需证f (x) = f (2 + x).
证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x),∴ T=2.
∴f (x)是一个周期函数.
例5 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m)
