矩阵基本知识(化学计量学必备)(三)
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矩阵基本知识(化学计量学必备)二
第二节 特征值和特征矢量
一、 矩阵的特征值
若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例,则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值,称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量.例如有矩阵A
A=
具有性质：
=4×
表明矩阵A有1个特征值为4,相应特征矢量为（2 1 0）T.
矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是：
A·q= ·q,
该方程是可相乘的,所以A必定是方阵,因此只有方阵才有特征值.
当A是n阶方阵时,上述方程的一般形式为：
（A- ·I）·q=0
任何非平凡解（q=0为平凡解）都必须满足：
=0
此特征方程有一般形式：
据此求解特征值的方法并不是一个好方法.
特征值具有下列性质：
（1） 特征方程可以分解因式为：
（A-3）
即n阶矩阵有n个（可相等也可不相等）特征值.
（2） 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹（trace）,记作tr（A）：
tr(A)= ,
即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹.
（3） ,
即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值.如果矩阵是奇矩阵,则矩阵中至少有一个特征值为0.
（4） 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等,因而转置矩阵有相同的特征值.
（5） 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数.因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数.
（6） 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数.这也就是说可用实数形式写出其特征矢量.
（7） 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积.如果A是三角阵,则：
与式（A-3）比较可见,三角矩阵的特征值（对角矩阵也同样）等于其对角元素.
（8） 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换,则其特征值保持不变.
（9） 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以1／f,则矩阵的特征值不变.
二、 矩阵的特征矢量
除亏损矩阵（矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左或右特征矢量）外,矩阵的每个特征值都独立对应一个满足方程：A·q= ·q的右特征矢量.可用消去法求解每一个特征矢量.例如上述方程式中 =1时的右特征矢量求解如下：
=
化为上三角矩阵后,得：q1=q2=2q3.由于方程 ,奇异,方程有无穷多组解,又右端项为0,齐次,必定有解.故任何一个矢量q满足A·q= ·q时,则该矢量的某个倍数也一定满足.
求解一个高阶非对称满秩矩阵的每个特征矢量大约需n3/3次乘法,计算量很大.
可以把全部特征值及对应的右特征矢量组合成一个标准特征值方程：
A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ,
即AQ=QA.同理,也有左特征矢量.
A和AT具有同样的特征矢量.对于每一个与A的某一个特征矢量对应的特征值也都有AT的一个特征矢量p,使得：
ATp= ·p
转置该方程.特征矢量p可看作是A的一个左特征矢量：
pTA= ·pT
矩阵方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中.
表A-1 特征值和左右特征矢量
左特征矢量 特征值 右特征矢量
（7 –10 6）T 4 （2 1 0）T
（-1 2 -1）T 1 （2 2 1）T
（1 –2 2）T -8 （-2 1 4）T
对称矩阵的转置仍是它自身.左右特征矢量相同,不必加以区分.表A-2为一例,其特征矢量一已数乘,使最大元素之值为1.
表A-2 对称矩阵的特征值和特征矢量
矩阵 特征值 右特征矢量
92-1 （1 1 1）T（1 –1 0）T（-0.5 –0.5 1）T
三、 对称矩阵特征矢量的正交性条件
设qi和qj是某一对称矩阵A的特征矢量,对应于不同的特征值 和 ,则
和
转置第2个方程：.经简单变换后有：
和 ,
因为 ,因此2个方程能相容的唯一可能是：.其中 ,称为特征矢量的正交性条件.
如果把每个特征矢量都乘以适当倍数使下式成立：
.
先不考虑有相同特征值的可能性,正交条件组合成：
用Q表示特征矢量的集合,即Q= ,则有：
QTQ=I=QQT.
任何满足该方程的实矩阵Q称正交矩阵.
正交矩阵具有重要性质：Q-1=QT.因此,Q不是奇异的.
任何矢量都可以表示成一个对称矩阵的特征矢量的线性组合：
,
即：
X=QC 故 C=QTX.
由正交条件可知：
AQ=QA (QTQ=I),
A=QAQT
