It’s true that the older people should -----.

首先,根据意思,这句应该用被动：老人被照顾,而不是去照顾别人.所以只能选A或C.
只有及物动词或者相当于及物动词的短语才能用作被动句的谓语动词.
所谓相当于及物动词的短语,就是像及物动词那样,能在其后接名词作宾语.take care of 后可以跟名词：take care of somebody. 但不能说take care somebody.
所以只能选C.
注：take care也是固定短语,但意思是：小心.是不及物的动词短语.
而take care of则表示：照顾.