图一有1层,底层有1个小方块,共有1个小方块.
图二有2层,底层有1+2个小方块,共有1+2+1个小方块.
图三有3层,底层有1+2+3个小方块,共有1+2+3+(2+1)+1个小方块
图n有n层,底层有1+2+3+4+...+n个小方块,
共有(1+2+3+...n)+[1+2+3+...(n-1)]+[1+2+3+...+(n-2)]+...(3+2+1)+(2+1)+1个小方块.
1+2+3+4+...n=n(n+1)/2 ,这是高中的数列公式,不知道你学过没有.证明的话也简单,把n分为偶数和奇数都列一下式子,就能得出n(n+1)/2 .
下面就可以得出1+2+3+...(n-1)=(n-1)n/2
1+2+3+...(n-2)=(n-2)(n-1)/2
...
所有共有的小方块为：n(n+1)/2+(n-1)n/2+(n-1)(n-2)/2+...3*4/2+2*3/2+1*2/2
化简形式得：1/2[n²+n+(n-1)²+(n-1)+(n-2)²+(n-2)+...3²+3+2²+2+1²+1]
其中n²+(n-1)²+(n-2)²+(n-3)²+...+3²+2²+1²=n(n+1)(2n+1)/6,这个的证明比较麻烦,看你能看懂不
由公式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
1^3+3*1^2+3*1+1=2^3
2^3+3*2^2+3*2+1=3^3
.
n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3
上面的式子全部加和,注意最左边和右边是大部相等的,可以加和时消去很多.得出：
1+3(1^2+2^2.+n^2)+3(1+2+3...+n)+n=(n+1)^3
3A=(n+1)^3-3n(n+1)/2-(n+1) (A=1+4+9.+n^2)
化简得：A=n(n+1)(2n+1)/6
而又有n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1=n(n+1)/2
所以全部的小方块为1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]=n(n+1)(n+2)/6.
这是高三难度的题,若是楼主你没到高三,不得不说出这道题的人太变态!很辛苦啊,望加分~
