已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．

（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+
1
x，f（-x）=-x-
1
x=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=
1
x+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x₁、x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+
1
x1-（x₂+
1
x2）=x₁-x₂+（
1
x1-
1
x2）
=x₁-x₂-
x1−x2
x1x2=（x₁-x₂）
x1x2−1
x1x2．
当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=
1
x+x在（1，+∞）上为增函数．