设动直线x=m与函数f(x)=x三次方,g(x)=lnx的图像分别交于M、N则|MN|的最小值为答案：1/3*（1+ln

画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离.设F（x）=f(x)-g(x)=x*x*x - lnx , 求导得：F'(x)=3*x*x - 1/x .这个容易证明F（x）在0-1区间和1-无穷大区间都是大于零的,令F'(x) =0得到x=1/3的三次方根,F'(x)在0-1/3的三次方根区间内小于0,在1/3的三次方根-无穷大区间大于0,即是函数F(x)先减后增,在1/3的三次方根处取得最小值,代入x=1/3的三次方根,得到 后面的答案1/3 -1/3*ln1/3 = 1/3*(1-ln1/3)=1/3*(1+ln3)
再问： 这个容易证明F（x）在0-1区间和1-无穷大区间都是大于零的为什么？
再答： 首先 lnx 有意义得到 x>0 ,注意到 f(x) 和 g(x)都是增函数，且 x=1的时候，lnx=0. 在0-1区间 f(x)>0>ln(x),在1-正无穷区间 F'(x)=3*x*x-1/x>3-1>0,所以F(x)>F(1)=3>0. 这个主要是为了把绝对值符号去掉，以便使讨论的情况少一点，自己也可以画图看看