符号说明：∫(x→x+1)f(t)dt 表示函数f(t)的定积分,其中积分下限是 x ,上限是 x+1 ；
∑(k:1→n) 表示从第1项到第n项求和；
下证函数列 fn(x) = ∑(k:1→n)[1/n*f(x+k/n)] 一致收敛到函数g(x) = ∫(x→x+1)f(t)dt .
因为f(x)在R上连续,那么f(x)在任意的闭区间上都是可积的.任取 x∈[a,b],在积分区间[x,x+1]
上,定积分∫(x→x+1)f(t)dt 的定义是这样的：
任取ε>0 ,存在δ>0 ,使得对[x,x+1]上任意的分法：
x = x(0) < x(1) < x(2) < x(3) < .< x(n) = x + 1
令 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} ,其中 △(k)=x(k)-x(k-1) (k=1,2,...,n) ,
当 |λ|0 ,使得当 n>N1 时,有 1/n < δ ；那么对于下面的分法：
x = x(0) < x+1/n < x+2/n < x+3/n < .< x+n/n = x + 1
△(k)=x(k)-x(k-1)=1/n ,则 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} = 1/n ；
当 n>N1 时,有 λ = 1/n < δ ,那么对任意的 y(k)∈(x+(k-1)/n,x+k/n) ,有
|∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε ,由于△(k)=1/n ,
即 |∑(k:1→n)[(1/n)*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε
仔细看上述证明,N1是取决于x的,下面我构造一种方法,使得N1不依赖于x ；
由于f(x)在R上连续,自然在[a,b+1]上连续,
所以f(x)在[a,b+1]上是可积的,积分值是∫(a→b+1)f(t)dt ；类似上述过程,有
对任给的ε>0 ,存在δ>0 ,使得对[a,b+1]上的分法：
a = x(0) < a+(b+1-a)/n < a+2(b+1-a)/n < a+3(b+1-a)/n < .< a+n(b+1-a)/n = b + 1
令 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} ,其中 △(k)=(b+1-a)/n (k=1,2,...,n) ,
存在N,使得当 n>N1 时,|λ|=(b+1-a)/nN1 时,|∑(k:1→n)[1/n*f(y(k))] -∫(a→b+1)f(t)dt| < ε
由于在积分限[a,b+1]上的和式 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] 是收敛的,
任取 x∈[a,b],因为f(x)是连续的,在积分限[x,x+1]做的和式 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] 也是
收敛的,且极限值是∫(x→x+1)f(t)dt ；如果x和x+1这两个点正好是上述[a,b+1]分法中的两个分
点,那么就取 N1=N,当n>N2时,有 |∑(k:1→n)[1/n*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε
如果x和x+1有一个不是分点的话,由于f(x)在[a,b+1]上连续,所以有界,即 |f(x)|0,存在d>0,当[a,b+1]上的x1和x2满足|x1-x2|
