如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根

分析：根据对角互补的四边形,则四边形共圆,根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC,根据∠PBC=∠PQD,过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,推出正方形AEPM,根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1,证△BEP≌△PFQ,推出PE=FQ=1,BP=PQ,求出DQ、DC,即可．
 

 
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCQ=90°,
∵PQ⊥PB,
∴∠BPQ=90°,
∴∠BPQ+∠BCQ=180°,
∴B、C、Q、P四点共圆,
∴∠PBC=∠PQD,∠BPC=∠BQC,
∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC=BC,∠DAC=∠BAC,∠DAB=90°,
∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°,PM=PE,
∴四边形AMPE是正方形,
∴AM=PM=PE=AE,
∵AP=√2,
∴在Rt△AEP中,由勾股定理得：AE²+PE²=（√2）²,
解得：AE=AM=PE=PM=1,
∴DF=1,
设AB=BC=CD=AD=a,
则BE=PF=a-1,
∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°,
∴∠BPE+∠EBP=90°,∠EPB+∠FPQ=90°,
∴∠EBP=∠FPQ,
在△BEP和△PFQ中
∠EBP=∠FPQ,
BE=PF,
∠BEP=∠PFQ,
∴△BEP≌△PFQ（ASA）,
∴PE=FQ=1,BP=PQ,
∴②正确；
∴DQ=1+1=2,
∵Q为CD中点,
∴DC=2DQ=4,
∴正方形ABCD的面积是4×4=16,
∴④正确；
 
点评：本题考查了正方形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生的推理能力,题目综合性比较强,有一定的难度．
 
再问： B、C、Q、P四点共圆，共圆什么意思
再答： 你可能没学，直径所对的圆周角为90°，这两个角都是90°， 说明是以BQ为半径的圆，所以共缘