圆的证明与计算

解题思路： （1）连结OC，根据等边三角形的性质得∠ACB=∠ECD=60°，则∠ACE=60°，再根据等边三角形的内外心重合得到∠ACO=30°，则∠OCE=90°， 然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，根据垂径定理得BH=CH，设OH=a，则CH=manfen5.com 满分网a，OC=2a，所以BC=2manfen5.com 满分网a，OF⊥FD，由△CDE为等边三角形得∠CED=60°，∠D=60°，则∠CEF=120°，易得∠COF=60°，于是可判断△OCF为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠OFC=60°，FC=OC=2a，可计算出∠CFD=30°，则∠FCD=90°，由此得到CD=manfen5.com 满分网FC=manfen5.com 满分网，然后计算CD：BC．
解题过程：
（1）证明：连结OC，如图1，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴点O是等边△ABC的外心和内心，
∴∠ACO=∠ACB=30°，
∴∠OCE=30°+60°=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）【解析】
作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，如图2，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
设OH=a，则CH=a，OC=2a，
∴BC=2a，
∵DF与⊙O切于点F，
∴OF⊥FD，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，∠D=60°，
∴∠CEF=120°，
而∠OCE=∠OFE=90°，
∴∠COF=60°，
∴△OCF为等边三角形，
∴∠OFC=60°，FC=OC=2a，
∴∠CFD=30°，
∴∠FCD=90°，
∴CD=FC=，
∴CD：BC=：2a=1：3．