已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值

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已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值
1个回答 分类:数学 2014-11-20

问题解答:

我来补答
取AD1的中点F,BC1的中点为G,连接FG,取FG的中点为H.连接EH,A1F,.AH.
知A1F垂直于AD1.(1)
又AB垂直于平面ADD1A1,故AB垂直于A1F.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线) (2)
由(1),(2) 知A1F垂直于平面ABC1D1.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于变平面).(3)
易知:FHEA1为平行四边形,即推出A1F//EH.
由(3)知EH垂直于平面ABC1D1..即H为E点在平面ABC1D1上的投影.
知:角EAH即为直线AE与平面ABC1D1所成的角.且三角形EAH为直角三角形.角EAH = 90度.
求得AE= (根号5)/2,EH = A1F = (根号2)/2.
故:直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值=EH /AE= 根号(2/5) = (根号10)/5.
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