海伦公式是什么再补充一下,还有海伦公式的证明

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海伦公式是什么
再补充一下,还有海伦公式的证明
1个回答 分类:数学 2014-11-27

问题解答:

我来补答
p(p-a)(p-b)(p-c) (p为三角形周长的一半,即p=1/2(a+b+c))是一种只要知道三角形的三边长a,b,c就能求出其面积的公式对于海伦公式的证明       个人建议你去查一查中国的秦九韶公式  这两个公式是等效变形的完成对秦九韶公示的证明也就是完成了海伦公式的证明与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推导[1] cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}当P=1时,△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}因式分解得△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得:S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”.S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题:已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)代入解得s=8√ 3证明⑶在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、cO为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明⑷通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)(证明过程选自度娘百科)
 
 
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