[编辑本段]定义
在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高项的次数和是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时,应满足（a≠0）
[编辑本段]补充说明：
1、该部分的只是为初等数学知识,一般在初二就有学习.(但一般反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是高考的热点. 3,方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a X1*X2=c/a（也称韦达定理） 4, 方程两根为X1,X2时,方程为:X^2-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得) 5. 验根：(b^2)-4ac
[编辑本段]一元二次方程的形式
一般式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0) 例如：x^2+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/2a
两根式
a(x-x1)(x-x2)=0
[编辑本段]一般解法
1.配方法
（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1）^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当
2.公式法
（可解全部一元二次方程） 其公式为x＝（-b±√（b^2－4ac））/2a 当b^2-4ac＞0时 x有两个不相同的实数根 当b^2-4ac＜0时 x无实数根（初中） 当b^2-4ac=0时 x有两个实数根 即x1=x2
3.因式分解法
（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”. 如：解方程：x^2+2x+1=0 利用完全平方公式因式分解得：（x+1）^2=0 解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
（可解部分一元二次方程）
5.代数法
（可解全部一元二次方程） ax^2+bx+c=0 同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0 设：x＝y-b/2 方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)+(by-b^2/2)+c=0 再变成：y^2+(b^2*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
如何选择最简单的解法：
1、看是否可以直接开方解； 2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法）； 3、使用公式法求解； 4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦）.
例题精讲：
1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解. （1）(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... （2） 9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... 2．配方法： 例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2 配方：(x-)^2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根. 当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根） 当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 当b^2-4ac0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解. (4)x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.
小结：
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法. 公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解. 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）.
课外拓展
一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程. 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使 x=1, x+ =b, x^2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ,然后得出+ 及 - .可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式.但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的. 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如：ax^2=b. 在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式. 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一. 公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式. 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等.把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法.阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识.十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根. 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系. 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的.我国数学家还在方程的研究中应用了内插法.
[编辑本段]判别方法
一元二次方程的判断式： b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根． b^2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根． b^2-4ac
