已知等差数列an,公差大于零,a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,另一数列的前n 项和为Sn,且Sn=1-b

问题描述:

已知等差数列an,公差大于零,a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,另一数列的前n 项和为Sn,且Sn=1-bn/2
n属于正整数.记cn=an*bn(n属于正整数).(1)分别求an,bn的通项公式.(2)试求数列cn的最大项;若cn小于等于m^2-2m+2/3对一切的自然数n恒成立,求实数m的取值范围.
1个回答 分类:数学 2014-10-04

问题解答:

我来补答
1、利用二元一次方程得求根公式求出其两根分别为:9、3
又an是等差数列,且公差大于零
所以a2=3,a5=9
又a5=a3+2d
所以2d=a5-a3=9-3=6
则,d=3
又a3=a1+2d 则,a1=a3-2d=3-6=-3
所以:an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)*3=3n-6(n是正整数)
S(n+1)=1-b(n+1)/2 ①
Sn=1-bn/2 ②
由①-②得:S(n+1)-Sn=(bn-b(n+1))/2
b(n+1)=[bn-b(n+1)]/2
3b(n+1)=bn
可知:b(n+1)/bn=1/3(n是大于等于1的正整数)
当n=1时,S1=b1=1-b1/2 得:b1=1/3
由上可得出:bn是公比为1/3,首项为1/3的等比数列
故:bn=(1/3)^n (n是正整数)
2、由(1)可知:cn=bn*an=(1/3)^n*(3n-6)=(n-2)(1/3)^(n-1)
c(n+1)-cn=(n-1)(1/3)^n-(3n-6)*(1/3)^n
=(5-2n)(1/3)^n
当5-2n>=0即,cn为增函数且n=3
则,当n=3时,此时cn的最大项是c3,为c3=1/9
 
 
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