已知函数y=x+(2/x)有如下性质:函数在(0,根号2]上是减函数,在[根号2,+无穷)上是增函数.

问题描述:

已知函数y=x+(2/x)有如下性质:函数在(0,根号2]上是减函数,在[根号2,+无穷)上是增函数.
是否存在k.使函数在区间(0,4】的最小值为9,若存在请求出K若不存在请说明理由
1个回答 分类:数学 2014-11-25

问题解答:

我来补答
题目中函数表达式可能有误,似应为 y=x+(k/x);(如为 y=k+(2/x) 则 y 总为减函数);
再回到原题.函数在(0,√2]上减而在[√2,+∞) 上增,则 x=√2 是函数极小值点;
由 y'(√2)=1-(k/x²)=1-(k/√2²)=0,可得 k=2;极小值 f(√2)=√2+(2/√2)=2√2;
若指定 y=x+(k/x) 的最小值是 9,要么 y 的极小值是 9,要么(当极小值点不在区间(0,4]内时)就是 y(4)=9;
当 y 的极小值是 9 时,因 x=√k 是极小值点,则有 y(√k)=√k+(k/√k)=2√k=9,k=81/4;
但极小值点 x=√k=9/2>4,也还是超出了限定区间;所以这一个不是真解;
若 y(4)=9,即 4+(k/4)=9,解得 k=20;此时极小值点 x=√k=√20=2√5>4,即函数在区间(0,4]内单调减小但未曾达极小值,所以 k=20 是合理的;
 
 
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