求核按定义去弄就好了,如果线性变换是用矩阵表示,核其实就是 Ax=0 的解空间,你只要去求解这个线性方程组也可以得到 核.
至于你的表达式 L(x) = (x1,x1,x1)T 不太理解你的意思,你的x1是指基向量还是指 x是3维向量而x1是x的分量? 你的T是给定的矩阵吗?麻烦给出符号的具体说明.不好意思,因为不同的课本用的符号不太一样,如果不说清楚符号的意思可能会产生误解.所以我上面只给你方法没有解你给的实例.
再问： X1是X的分量吧 T是矩阵 看不懂式子的话 你可以告诉我这种题的算法么
再答： L(x1,x2,x3)=(x1,x1,x1)T = (x1,x2,x3)AT A = (1 1 1 0 0 0 0 0 0) 所以这个线性变换的矩阵就是 AT （A和T乘完之后的，因为你没给T，所以我不知道T具体是什么） 然后 你就求 (x1,x2,x3)AT = 0 （展开以后是一个线性方程组），你把这个线性方程组求解出来。 这个你应该会吧，是基本功。求出来后解空间就是ker L 这是ker L就是满足 Lx=0的一切x组成的空间，就是 这个线性方程组的解空间。 至于im L，如果我记得没错 有一个公式是 线性变换L来说 imL跟kerL的直和就是原来的线性空间，你这里是3维的线性空间，用分量表示的话在非数学系的教材里或者低年级数学系的教材里一般x1,x2,x3是实数域的或者复数域的（而不是其他的抽象域）如果是实数的，那么就是说 R^3 = imL直和kerL，你求出kerL的空间的基之后，求它们的正交补空间就是imL啦。应该没错了
再问： 谢谢你的回答 是这样的 我们用的是全英教材 所以符号什么的很复杂 T是上角标 不是A乘以T 我打的有问题 书上给的第一题答案：核是span（e2，e3） 值域是span（（1,1,1）T）
再答： 。。。T是上标？？那不是矩阵。。。那是表示转置。。。 这样好理解了 L(x) = (x1,x1,x1)的转置，所以L(x) = Ax A = (1 0 0 1 0 0 1 0 0) 所以你要解的方程是 x1=0,x1=0,x1=0 也就是说 你的解空间其实就是 (0, x2,x3) ,x2,x3是任意的 kerL = {(0,x2,x3)| x2,x3数域里任意取}（也就是 span{(0,1,0)^T,(0,0,1)^T}） imL 就是 {(x1,x1,x1)^T:x1任意取} 跟你的答案是一样的
再问： 就是矩阵 我想说的它不是乘以T 是书上的矩阵就是这么表示的
再答： 嗯，同样的方法给你解第二题吧（因为有些书会用 不是上标的 T （Transformation）写在向量的右边来表示线性变换，所以不说是上标会让人误解的）【中文教材全是烂的要命的，我也是全是用英文教材的】 Lx = (x1,x2,0)^T = 0 就是 x1=0,x2=0，x3没限制 所以解空间就是 {(0,0,k)^T| k是任意的} 按照你那本书的风格应该会写成 span{e3}这样 im L他已经给出了 就是(x1,x2,0)^T这种形式的，所以就是 span{e1,e2}
再问： 谢谢谢谢 值域呢值域呢
再答： 抱歉 忘记说了，值域我上面写出来了 ，因为我习惯用 Im L 表示算子L的值域。。。你看我的回答里已经有写了 Im L 就是你要的值域了 第一个是 imL 就是 {(x1,x1,x1)^T:x1任意取} 你也可以写成 span{(1,1,1)^T}或者span{e1+e2+e3}都是一样的 第二个就是“ im L他已经给出了 就是(x1,x2,0)^T这种形式的，所以就是 span{e1,e2}”
