设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A)

方法:
证明齐次线性方程组 AX=0 (1)与 A^TAX=0 (2)同解即可
显然(1)的解是(2)的解
设X0是(2)的解,则 A^TAX0=0
所以 X0^T A^TAX0=0
所以 (AX0)^T(AX0)=0
所以 AX0 = 0
即有(2)的解也是(1)的解
故两个方程组同解进而基础解系含相同的个数的解向量
即 n-r(A) = n-r(A^TA)
所以 .