证明:对角互补的四边形一定是圆的内接四边形

问题描述:

证明:对角互补的四边形一定是圆的内接四边形
或者证明它的逆否命题.
为什么角1加角2乘以2就是弧?
∠1所对的弧+∠2所对的弧=2*(∠1+∠2)=360°
这步怎么来的?
1个回答 分类:数学 2014-09-21

问题解答:

我来补答
前面几位的证明,是在承认四边形内接于圆的前提下进行证明,所以这是证题的大忌.
我的证明,源于几何课本(不是原文).
已知:四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°
求证:四边形ABCD内接于圆.
证明:假设四边形ABCD不内接于圆,过B、A、D三点作⊙O,则点C不在⊙O上.
(1)如果点C在⊙O外,连结AC交⊙O于点P,连结DP、BP,
则∠APD>∠ACD,∠APB>∠ACB
∴∠APD+∠APB>∠ACD+∠ACB
即∠DPB>∠BCD
∵西边形ABPD内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BPD=180°
∴∠BAD+∠BCD<180°
这与已知∠BAD+∠BCD=180°相矛盾,所以点C不可能在⊙O外.
(2)如果点C在⊙O内,连结AC并延长交⊙O于点Q,连结DQ,CQ,
〔一下用类似的方法证明点C不可能在⊙O内〕
由(1)和(2)知,点C只能在⊙O上,即假设不成立.
∴四边形ABCD内接于圆.
(请参阅初三几何课本)
 
 
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