解（Ⅰ）当a=1时，f(x)＝
1
2x2+lnx，f′(x)＝x+
1
x＝
x2+1
x．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
e2
2，fmin(x)＝f( 1 )＝
1
2
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)−2ax＝(a−
1
2)x2−2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)＝(2a−1)x−2a+
1
x＝
(2a−1)x2−2ax+1
x＝
(x−1)[(2a−1)x−1]
x．
①若a＞
1
2，令g'（x）=0，得极值点x1=1，x2＝
1
2a−1．
当x2＞x1=1，即
1
2＜a＜1时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤
1
2，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2．
由此求得a的范围是[−
1
2，
1
2]．
综合①②可知，当a∈[−
1
2，
1
2]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
