关于最短线段的几何证明

按照你的字母编号,这个矩形应该是ABDC而不是ABCD.OK,就按照这样的序号.
以对角线AD为轴,做B的对称点B',那么三角形AB'D和ABD全等且关于AD轴对称.对AB上的动点M,相应在AB'上有对应点M',NM＝NM',从B点向AB'作垂线,垂足是E',交AD于F,那么BE'＝BF＋FE'就是B到AB'的最小值,也是动点BN＋MN的最小值.此时动点M在F点,动点M在E'对称的位置E.而BN＋NM=BF+FE'=BE+FE
现在求这个最小值是多少：
tanBAD＝1/2,角BAB'=2角BAD
由三角公式,sinBAB'= 2tanBAD/(1+ tan^2BAD) = 2*1/2 / (1+1/4) = 4/5
BE'=ABsinBAB' = 2a*4/5 = 8a/5
即BN+MN最小值是 8a/5