如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任一点,AA1=AB=2,求证..

（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,
∴BC⊥AC．
∵AA1⊥平面ABC,BC⊈平面ABC,
∴AA1⊥BC．
∵AA1∩AC=A,AA1⊊平面AA1C,AC⊊平面AA1C,
∴BC⊥平面AA1C．
（2）设AC=x,在Rt△ABC中,
BC= AB2-AC2= 4-x2（0＜x＜2）,
故VA1-ABC= 13S△ABC•AA1= 13• 12•AC•BC•AA1
= 13x 4-x2（0＜x＜2）,
即VA1-ABC= 13x 4-x2= 13x2(4-x2)
= 13-(x2-2)2+4．
∵0＜x＜2,0＜x2＜4,∴当x2=2,即x= 2时,
三棱锥A1-ABC的体积最大,其最大值为 23