在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足PA⊥PB,

问题描述:

在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足PA⊥PB,
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若过点Q(1,2)的直线l与点P的轨迹有且只有一个交点,求直线l的方程.
1个回答 分类:数学 2014-11-26

问题解答:

我来补答
(1)设P(x,y),
∵PA⊥PB,A(-1,0),B(1,0),


PA=(-1-x,-y),

PB=(1-x,-y),
∴由

PA•

PB=0,得(-1-x)•(1-x)+(-y)2=0,
即x2-1+y2=0,…(3分)
则动点P轨迹方程为x2+y2=1(y≠0);…(4分)

(2)由直线l与点P的轨迹有且只有一个交点,
故分两种情况考虑:
①当直线l与圆相切时,
若斜率存在,设l:y=k(x-1)+2,
即kx-y+2-k=0由
|2−k|

1+k2=1,得k=
3
4,
此时直线l方程为:3x-4y+5=0,符合题意,…(7分)
若斜率不存在,此时方程:x=1,与圆x2+y2=1切于点B,不符合题意;…(8分)
②当直线l与圆相交时,直线QA与轨迹仅有一个交点,
∵A(-1,0),Q(1,2),
此时直线l的方程为:y=
2−0
1−(−1)(x+1),即y=x+1,符合题意,
综上所述:所求直线l的方程为:3x-4y+5=0或x-y+1=0.…(10分)
 
 
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