已知X²-(2K+1)+M=0的两根p与q为质数,且q/p+p/q=(6k+1)/3k,求整数k的值.

p+q=2k+1
k是整数,2k+1是奇数
所以p和q一奇一偶
偶的质数只有2
所以不妨设p=2
所以q=2k-1
pq=M
即4k-2=M
p²+q²=(p+q)²-2pq
=(2k+1)²-2M
=4k²+4k+1-8k+4
=4k²-4k+5
q/p+p/q
=(p²+q²)/pq
=(4k²-4k+5)/(4k-2)=(6k+1)/3k
12k³-12k²+15k=24k²-8k-2
12k³-24k²-12k²+23k+2=0
12k²(k-2)-(12k+1)(k-2)=0
(k-2)(12k²-12k-1)=0
k是整数
所以k=2