纠正下楼上：cov(X+Y,X-Y)=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)E(X-Y)
E[(X+Y)(X-Y)]=E(X²-Y²)=E(X²)-E(Y²)=(EX)²+DX-(EY)²-DY=μ1²-μ2²+σ1²-σ2²
E(X+Y)E(X-Y)=(EX+EY)(EX-EY)=(EX)²-(EY)²=μ1²-μ2²
∴cov(X+Y,X-Y)=σ1²-σ2²
另外这道题出错了,没有正确答案,原因如下：
由题得ρ=0,则X,Y独立且都服从正态分布,现在我讨论下一般的结论：
设U=aX+bY V=cX+dY (abcd是常数) 显然U,V(在ab不全为0且cd不全为0时)也都属于正态分布
﹡可证明当ad≠bc时,U和V服从二维正态分布 (如果想知道如何证明的话我就附张图)
而ad=bc时,UV满足线性关系,显然不独立 所以只需讨论ad≠bc的情况.
﹡若随机变量U和V的联合分布式二维正态分布,则U与V独立的充分必要条件是U与V不相关
(这个性质考研的应该都知道)
所以只需讨论U和V的不相关性即可,而不相关有：E(UV)=EUEV
由此可得到：ac*σ1²+bd*σ2²=0 可见独立与a,b,c,d,σ1,σ2的取值有关
所以不给出σ1,σ2的关系,不能判断独立性(除了X和Y独立)
由此可算得：答案A在σ1=σ2时成立 答案B和答案C在σ1=0时成立 答案D在2σ1²=σ2²时成立
