如图,在直角梯形OABD中,DB‖OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,点在x轴的正半轴上,对角线OB、AD相交以点M

∵ ∠OAB=90°
∴ 在Rt△OAB 中,由勾股定理得：
OB方 = OA方 + AB方
= 2方 + （2√3）方
= 4 + 12
= 16
∴ OB = 4
还可以这样求OB：
∵ ∠OAB=90°
∴ 在Rt△OAB 中,
由 tan∠OBA = OA / AB = 2 /（2√3） = √3/3 得：
∠OBA = 30°
∴ 由 ”在直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半“ 得：
OB = 2（OA） = 2 × 2 = 4.
∵ OB = 4,BM ：MO = 1 ：2
∴ OM = （2/3）× OB
= （2/3）× 4
= 8/3
（2）求直线OD所对应的函数关系式：
过点D 作 DF ⊥ x 轴 于 点F,则 ∠DFA = 90°
在直角梯形OABD中,∠OAB = ∠ABD = 90°
∴ 在四边形ABDF中,∠OAB = ∠ABD = ∠DFA = 90°
∴ 四边形ABDF 是矩形.
∴ FA = DB --------------------- ①
∵ DB‖OA
∴ △BMD ∽ △OMA
∴ DB ：OA = BM ：MO = 1 ：2
∴ DB =（1/2）× OA
=（1/2）× 2
= 1 ------------------------ ②
由 ① ② 知：FA = 1
∴ OF = OA -- FA
= 2 -- 1
= 1
∴ 点F的横坐标为 1
而 DF ⊥ x 轴
∴ D、F 两点的横坐标相同
∴ 点D的横坐标为 1.--------------------------- ③
由题意,AB ⊥ x 轴,AB = 2√3
∴ 点B 的纵坐标为 2√3.
由 四边形ABDF 是矩形 得：FD = AB
∴ D、B 两点的纵坐标相同
∴ 点D 的纵坐标为 2√3.-------------------------- ④
由 ③ ④ 知：点D 的坐标为（1,2√3）.
设 经过 O、D 的直线为：y = k x （经过原点,是正比例函数）,
把 x = 1、 y = 2√3 代入 y = k x,得：k = 2√3.
∴ 直线OD所对应的函数关系式为：y =（2√3）x .
关于求”直线OD所对应的函数关系式“ ,
到高中将学到：直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率,
斜率 等于 y = k x 中的 k .
结合本问,k = tan∠DOF = DF/ OF =（2√3）/ 1 =（2√3）
∴直线OD所对应的函数关系式为：y =（2√3）x .
（3）在Rt△AOB 中,OA=2、OB = 4
∴ cos∠AOB = OA/OB = 1/2,
sin∠AOB = AB/OB = （2√3）/ 4 = √3/2
过点P 作 PM ⊥ x 轴 于 点M,
则：PM = OP × sin∠AOB = t ×（√3/2）= (√3 t) / 2
OM = OP × cos∠AOB = t ×（1/2）= t / 2
∴ 点P的坐标为：P（ t/2,√3 t/2 ）.
设直线AP对应的函数关系式为 y = kx + b
把A（2,0） P（ t/2,√3 t/2 ）两点坐标代入得：
k = （√3 t）/（t -- 4）,b =（2√3 t）/（4 -- t）
∴ 直线AP对应的函数关系式为 y =（√3 t）x /（t -- 4）+ （2√3 t）/（4 -- t）
以下需分三种情形讨论：
① 点E 在 线段OD上
② 点E 在 线段DB上
③ 点E 与 点D重合
① 当点E 在 线段OD上时,
梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为 △AOE 的面积,
求出直线AP 与 直线OD 的交点E的纵坐标,即为△AOE 的高.
由以下方程组
y =（2√3）x
y =（√3 t）x /（t -- 4）+ （2√3 t）/（4 -- t）
解得：y = （4√3 t）/（8 -- t）.此即为△AOE 的高.
此时S = （1/2）× OA × y
= （1/2）× 2 × （4√3 t）/（8 -- t）
= （4√3 t）/（8 -- t） 此时 t 的取值范围是：0 ＜ t ＜ 8/3.
② 当点E 在 线段DB上时,
梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为 梯形OAED 的面积,
关键是 求上底DE 的长.
点E 的横坐标可通过解直线AP 和 直线DB 组成的方程组 来求得.
直线AP为 y =（√3 t）x /（t -- 4）+ （2√3 t）/（4 -- t）
直线DB为 y = 2√3
解以上方程组得：x = （4t -- 8）/ t ,此即为 点E 的横坐标.
则 DE的长为：点E的横坐标 减去 点D的横坐标
∴ DE = （4t -- 8）/ t -- 1
= （3t -- 8）/ t
此时S = （1/2）×（DE + OA）× AB
= （1/2）× [（3t -- 8）/ t + 2 ] × 2√3
= （5√3 t -- 8√3）/ t 此时 t 的取值范围是：8/3 ＜ t ＜ 4.
③ 当 点E 与 点D重合 时,
S = S△OAD =（1/2）× OA ×（点D纵坐标）=（1/2）× 2 × 2√3 = 2√3.
综上,梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积S关于t的函数关系式为：
S = （5√3 t -- 8√3）/ t （8/3 ＜ t ＜ 4） 或
S = （4√3 t）/（8 -- t） （0 ＜ t ＜ 8/3） 或
S = 2√3 （ t = 8/3 ）.